Resumo

Este trabalho apresenta um estudo sobre distância tonal a partir de certos pressupostos estabelecidos por David Lewin (1982), Richard Cohn (1996; 2012), Jack Douthett & Peter Steinbach (1998), Clifton Callender (1998), Steven Baker (2003) e Dmitri Tymoczko (2011), entre outros. Demonstra como os ciclos octatônicos (descritos por Douthett e Steinbach), formados por acordes de sétima, podem conectar-se com as tríades consonantes dos ciclos hexatônicos (descritos por Cohn). Tal conexão entre acordes de diferentes cardinalidades é possível por meio de uma região harmônica denominada “região Euler”, em referência a um trabalho publicado pelo matemático e teórico Leonhard Euler no século XVIII, no qual uma topologia de tríades aumentadas resulta em acordes maiores com sétima maior. Uma breve análise de um quarteto de Villa-Lobos ilustra a importância das regiões Euler entre as tétrades e tríades perfeitas.

Euler Regions: a Study on Tonal Distance andIntegration between Octatonic and Hexatonic Cycles

This paper brings a study on tonal distance grounded on some concepts established by David Lewin (1982), Richard Cohn (1996; 2012), Jack Douthett & Peter Steinbach (1998), Clifton Callender (1998), Steven Baker (2003), and Dmitri Tymoczko (2011), among other distinguished theorists. It demonstrates how the octatonic cycles (as described by Douthett & Steinbach) can connect to the hexatonic cycles (as described by Cohn), linking chords with different cardinalities (seventh chordsconnected to consonant triads). “Euler region” is a tonal space proposed to provide such connection between those cycles, a region named after Leonhard Euler, an 18th century theorist and mathematician who published a topology with augmented triads that results in major chords with major seventh. A brief analysis of a Villa-Lobos’s string quartet illustrates the role of Euler regions between seventh chords and consonant triads.